一． 已知：lg2=0.3010，求：log 5
解：原式= log / =2-2log =2-2lg2=2-2×0. 3010=1.398
二已知等差数列a1=lg2，a2=lg6，S5=lgx，求x
解：d=a2-a1=lg6-lg2=lg3，
S5=a1+4d=lg2+4lg3=lgx，lgx=lg2×81，x=162
三．若多项式x2-y2+dx+ey+f=0能分解成两个一次因式，求证：4f-d2+e2=0
解：原式=（x+d/2）2-（y-e/2）2-d2/4+e2/4+f=0
当x=-d/2，y=e/2时，所以，4f-d2+e2=0
四．若平行四边形两邻边上的高为h1，h2，周边长为2l，求面积S
解：设平行四边形边长为a，b则2l=2a+2b，a+b=l
展开剩余92%平行四边形面积为S=a×h1=b×h2
a/b=h2/h1，
a+b=l
解方程得：
a=lh2/h1+h2，S=ah1=lh1h2/h1+h2
五．三角形ABC三边长分别为a，b，c，且a2+b2=2c2
试求∠C的范围。
解：根据余弦定理：cosC=a2+b2-c2/2ab，由2 c2= a2+b2
c2= a2+b2/2
cosC= a2+b2- （a2+b2/2）/2ab= a2+b2/4ab
由基本不等式可知，对于任意两个正实数a，b，有a2+b2 2ab
cosC= a2+b2/4ab 2ab/4ab=1/2
又C是三角形的内角，即在0 C 180°,且余弦函数y=cosx在（0，180°）单调递减，cosC 1/2,且cosC=1/2，所以，
0 60°
六．求和：i+2i2+3i3+…+100i100
解：原式=Sn= i+2i2+3i3+…+100i100 1
iSn= i2+2i3+3i4+…+100i101 2
1-2，得：（1-i）Sn=i+i2+…+i100-100i101
Sn=i（1-i100）/（1-i）2-100i101/1-i=-100i（1+i）/1-i2
=50（1-i）
七．已知等差数列的am-n=P，am+n=Q，（m，n为正整数，且m n）求am，an
解：am=am-n+am+n/2= P+Q/2，
am+n-am-n=2nd,d=Q-P/2n
an=am+（n-m）d=P+Q/2+（n-m）×（Q-P）/2n=（2n-m）Q+Pm/2n
八求和：（x+1/x）2+（x2+1/x2）2+…+（xn+1/xn）2
解：将（xk+1/xk）2展开,可得：
（xk+1/xk）2=x2k+2+1/x2k，那么，
Sn= 2= 2k+2n+ 2k
2k,首项a1=x2，公比q= x2，Sn=x2（1-x2n）/1-x2
2k=1-x-2n/x2-1
Sn=2n+x2k+2+1/x2k+1-x-2n/x2-1=2n+（x2n+2-1）（1-x2n）/x2n（x2-1）
当x=1时， Sn=4n，当x=-1时，Sn=2n，当x=0时，原数列无意义。
九．设E是梯形ABCD一腰CD的中点，求证S△EAB=1/2S梯形ABCD
解：1.延长AE交BC延长线于H,因为AD∥BC(梯形定义)，所以，∠DAF=∠H(两直线平行，内错角相等) ∠D=∠ECH(两直线平行，内错角相等)
又因为E是CD的中点，即DE=EC在△ADE和△HCE中，
∠DAF=∠H
∠D=∠ECH
DE=EC
所以，△ADE △HCE
S△ADE=S△HCE(全等三角形的面积相等)
AE=EH(全等三角形的对应边相等)
在S△BCD ABH中，因为AE=EH,所以BE是△AB的中线，根据三角形中线的性质，三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，所以S△EAB=1/2S△ABH
因为S梯形ABCD= S△ABH
所以，S△EAB=1/2S△ABH=1/2S梯形ABCD
十.已知：平行四边形ABCD的对角线为BD ，又EF∥BD交BC于E,交CD于F,求证：S△ABE=S△AFD
解：因为ABCD是平行四边形，所以AD∥BC,AB∥CD,且AD=BC,AB=CD，
在平行四边形ABCD中，△ABD的面积是平行四边形面积的一半，即：
S△ABD=1/2S平行四边形ABCD；同理，
S△BCD=1/21/2S平行四边形ABCD；所以，S△ABD== S△BCD
由于EF∥BD,根据平行线间的距离处处相等，△BDE和△BDF有相同的底BD,且它们的高都等于平行线EF与BD之间的距离，所以， S△BDE=S△BDF
对于△ABE和△ABD
S△ABD-S△BDE=S△ABE,
对于△AFD和△BCD
S△BCD-S△BDF=S△AFD
所以，S△ABE=S△AFD
十一.有两张同样大小的正方形纸块，把一张纸块的中心放在另一张的一个顶点上，并使其旋转，试问这两张纸块的重合部分的面积有什么变化？
解：设正方形边长为a，面积为S = a2。
固定正方形ABCD，另一正方形EFG0 的中心 O与A。
以O为中心，正方形EFG0顺时针方向旋转到OE’F’G’的位置，使B点在OE’上，C在OG’上，因为∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°所以，∠1=∠2，又∠4=∠5，OB=OC,所以，
ΔOBK ΔOCH，从而SΔOBK=SΔOCH,SOKCH=SΔOKC+SΔOBK= SΔOKC+SΔOCH=SΔOBC=a2/4
结论：
重叠部分的面积恒为单张正方形面积的1/4，且在旋转过程中保持不变。
十二.求与圆x2+y2-2x=0外切并与直线x+ y=0相切于点（3， ）的圆的方程并画出图形。
解：第一步：整理已知圆的方程：
给定的圆方程为 ： x2 + y2 - 2x = 0，可以将其化为标准形式：
x2 - 2x + y2= 0 ，(x - 1) 2 + y2} = 1
因此，已知圆的圆心为 ( (1, 0)，半径r = 1。
第二步：设所求圆的圆心和半径
设所求圆的圆心为(a, b)，半径为r。
第三步：利用与直线相切的条件
所求圆与直线x + y = 0 相切于点 (3, - )。这意味着：
1. 点 (3, ) 在圆上。
2. 圆心 (a, b) 到直线x + y = 0 的距离等于半径r。
条件1：点 (3, - ) 在圆上：
(3 - a) 2} + (- - b) 2 = r2
条件2：圆心到直线的距离：
a + b/= = r
由于圆与直线相切于点(3, - )，圆心 (a, b) 和点(3, - )的连线应与直线垂直。直线x + y = 0 的斜率为 -1/ ，因此连线的斜率为 ：
b + /a - 3 = ，b + = (a - 3)
整理得：
b = a - 4
第四步：利用与外切圆的条件：
所求圆与已知圆(x - 1)2 + y2 = 1 外切，因此两圆圆心距离等于半径之和：
(a - 1)2 + b2= r + 1
第五步：联立方程求解：
现在有以下方程：
1. (3 - a)2 + (- - b) 2 = r2
2. a + b{/2 = r
3. b = a - 4
4. (a - 1) 2 + b2= r + 1
将b = a - 4 代入其他方程。
计算a + b：
a + b= a + ( a - 4 ) = a + 3a - 12 = 4a - 12
因此：
4a- 12 /2= r ,2a- 6 = r
假设 ( 2a - 6) 即 ( a 3），则r = 2a - 6。
计算 (a - 1) 2 + b2：
b = a - 4 ,b2= 3a2 - 24a + 48
(a - 1)2 + b2 = a2 - 2a + 1 + 3a2 - 24a + 48 = 4a2 - 26a + 49
因此：
= r + 1 = 2a - 6 + 1 = 2a - 5
两边平方：
4a2 - 26a + 49 = (2a - 5)2 = 4a2} - 20a + 25
整理：
-26a + 49 = -20a + 25 , -6a = -24 , a = 4
然后：
b = 4 - 4 = 0
r = 2×4 - 6 = 2
验证点 ( (3, - ) 在圆上：
(3 - 4) 2 + (- - 0)2 = 1 + 3 = 4 = r2
验证通过。
第六步：写出圆的方程：
圆心 ( (4, 0)，半径2 ，因此圆的方程为：
(x - 4)2 + y2 = 4
十三.三角形ABC底边BC=a，高AD=h，现做如下分割，将高AD分成n等分，过每个分点，作底边的平行线，并作n-1个矩形
（1） 求这（n-1）个矩形面积之和Sn-1
（2） 求SN2并比较SN-1与S N2的大小
（3） 设a=5，h=4，求n至少是多大时，SN-1与三角形面积S之差的绝对值小于0.01.
解：1.求(n-1)个矩形面积之和Sn-1:
设将高AD=h分成n等份，则每份的高为△x=h/n。从最上面第一个矩形开始，其底边长x1=a-2h/n, 第二个矩形底边长x2=a-4h/n， 第n-1个矩形底边长xn-1=a-2(n-1)h/n。
根据矩形面积公式S=底×高，这里高都为h/n，则Sn-1= h/n
展开可得：
Sn-1=h/n ）=h/n（ -2h/n ）
因为 =a（n-1）， =（n-1）n/2
所以：
Sn-1=h/n(a(n-1)-2h/n (n-1)n/2)
=h/n（a(n-1)-h（n-1））
=h（n-1）（a-h）/n=h/n（a（n-1）+（n-1）hn/n）=h/n（a（n-1）+x-3nx
=ah-ha/n-h2+3hx
=ah-nhx
(2)求Sn2并比较Sn-1与Sn2的大小：把高AD=h分成n2等分，每份高为 x=h/n2，第i个矩形的底边长：xi=a-2ih/n2，i=1，2，……n2-1
则 Sn2= -2ih/n2)h/n2= h/n2 -2ih/n2)
展开：h/n2 -2h/n2 ）
因为 =a（n2-1）
=（n2-1）n2/2，所以，Sn2=h/n2[a(n2-1)-h(n2-1)]=h
(h2-1)(a-h)/n2
比较Sn-1和Sn2
Sn2- Sn-1=h（n2-1）（a-h）/n2-h(n-1)(a-h) /n= h（a-h）（n2-1）/n2- h(a-h)n(n-1) /n2= h（a-h）（n-1）/ n2 0
所以，Sn2 Sn-1
（3）已知三角形面积为S=ah/2，当a=5，h=4时，S=5×4/2=10,
Sn-1=4/n（5（n-1）
S- Sn-1 ,即：
10-4/n×5(n-1) ,展开：1.998 2.002
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